Les limites de fonctions – 2ᵉ année Bac

 En mathématiques, il est possible d'étudier le comportement d'une fonction lorsque la variable atteint un certain nombre ou l'infini.

Cette leçon est d'une grande importance et indispensable, car elle nous aide à comprendre la valeur vers laquelle la fonction se dirige, sans l'atteindre nécessairement.

Notions essentielles : Les limites (2ᵉ Bac)

Réussir le chapitre des limites – 2ᵉ Bac.

Autrement dit :

La limite décrit ce que devient ( f(x) ) quand ( x ) s’approche d’une valeur.

On écrit :

\[\lim_{x\to a}f(x)\]

ce qui signifie : la limite de f(x) quand x tend vers a.

🧠 Notion de base

Soit une fonction ( f(x) ).On cherche ce que vaut ( f(x) ) quand :

•  \( x \to a \) (un nombre).
•  \( x \to +\infty \).
•  \( x \to -\infty \).

Exemple simple :

- Soit la fonction: \(f(x) = 2x\)

Quand \( x \to 3 \), alors : \(\lim_{x\to 3} 2x = 6\)

👉 La fonction se rapproche de 6.

1. Limite d’une fonction polynomiale

Pour les polynômes, calculer la limite est l'une des méthodes les plus simples. On utilise substitution directe pour le faire.

Exemple :

 \(f(x)=x^2+1\)

 \(\lim_{x \to 2} (x^2+1)=2^2+1=5\)

✅ Facile : on remplace ( x ) par 2.

2. Limite d’une fraction

À présent, nous sommes confrontés au problème le plus difficile, qui est le limite d'une fraction.

• Exemple:

Soit la fonction suivante:  \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\)

• Quand  \( x \to 2 \) :
•  \(\lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-1}=\frac{3}{1}=3\)

⚠️ Mais si le dénominateur devient 0, on doit analyser autrement.

3.  Limite vers l’infini

La limite vers l'infini est un concept fondamental en mathématiques, surtout lorsqu'on étudie les fonctions.

Exemple :

Soit la fonction: \(f(x)=\frac{2x+1}{x}\)

• Quand \( x \to +\infty \) :
• \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x}=2+\frac{1}{x}\)

Comme \( \frac{1}{x} \to 0 \), la limite est : \(\boxed{2}\)

4.  Limites infinies

Exemple :

Soit la fonction suivante: \(f(x)=\frac{1}{x}\)

• Quand \( x \to 0^+ \), alors \( f(x) \to +\infty \).
• Quand \( x \to 0^- \), alors \( f(x) \to -\infty \).

👉 On parle de limite infinie.

 ✅ Résumé rapide

La limite étudie le comportement d’une fonction.

1. On remplace si c’est possible.
2. On simplifie pour les fractions.
3. À l’infini, on compare les degrés.
4. Si le dénominateur tend vers 0 → attention aux infinis.

 📝 Exemples corrigés

 ✔ Exemple 1:

\(\lim_{x \to 1} (x^2+3x)\) \(=1^2+3(1)=4\)

✔ Exemple 2:

\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}\)

On factorise :

\(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\)

\(\lim_{x \to 2} =4\)

✔ Exemple 3:

\(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x+1}{x}\)\(=3+\frac{1}{x} \to 3\)

 🧩 Exercices d’application

Voici un exercice d'application simple:

 ✏ Exercice 1: 👀

Calculer :

1. \(\lim_{x \to 2} (x^2-1)\)

2. \(\lim_{x \to 1} \frac{x+2}{x+1}\)

3. \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}\)

 ✏ Exercice 2: 👀

Calculer la limite dans chaque cas:

1. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{5x+2}{x}\)

2. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x}\)

3. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\)

 ✏ Exercice 3: 👀

Déterminer la limite:

1. \(\lim_{x \to -1} (x^3+x)\)

2. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}\)

3. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{4x-1}{2x}\)

 🎯 Solutions rapides

Exercice 1:

1. 3

2. \( \frac{3}{2}\)

3. 6

Exercice 2:

1. 5

2. \( +\infty \)

3. \( \pm\infty\)

Exercice 3:

1. -2

2. 4

3. 2

🌟Conclusion

• Les limites est la base pour l’étude de la continuité et des dérivés plus tard. 
• Bien le comprendre permet à l’apprenant de lire plus facilement le comportement des fonctions et de les analyser logiquement.