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Table des matières 💙💚💛💜
Mathématiques Bac : Exercice Pratique sur les nombres complexes
Cours de mathématiques pour le niveau Terminale (Bac) pour les deux semestres.
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1. Cours
Résumé du cour les nombres complexes.
1. Définition:
- Un nombre complexe est de la forme \( z = a + bi \), où \( a \) et \( b \) sont des réels, et \( i \) est l'unité imaginaire, définie par \( i^2 = -1 \).
2. Forme Algébrique:
- \( z = a + bi \) - \( a \) : partie réelle (Re(z)) - \( b \) : partie imaginaire (Im(z))
3. Forme Trigonométrique (ou Polaire):
- \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) - \( r \) : module de \( z \), \( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) - \( \theta \) : argument de \( z \), \( \theta = \arg(z) = \tan^{-1}(b/a) \)
4. Forme Exponentielle:
- \( z = re^{i\theta} \) - Utilise la formule d'Euler : \( e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)
5. Opérations sur les Nombres Complexes:
- - Addition: \( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \)
- - Soustraction: \( (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \)
- - Multiplication: \( (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \)
- - Division : \( \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} \)
6. Conjugué d'un nombre complexe:
- Le conjugué de \( z = a + bi \) est \( \overline{z} = a - bi \).
Résumé du cour l'intégrale par partie.
1. Formule de Base L'intégration par parties est une technique qui s'exprime par la formule : \[\int_{a}^{b}u\,dv=\left[u v\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\,du \] où \( u \) et \( dv \) sont des fonctions de \( x \).
2. Choix de \( u \) et \( dv \)
- -✅ L : Logarithmic (Logarithmique) .
- -✅ I : Inverse trigonometric (Inverse trigonométrique).
- -✅ A : Algebraic (Algébrique).
- -✅ T : Trigonometric (Trigonométrique).
- -✅ E : Exponential (Exponentielle) L'ordre de préférence est de haut en bas pour choisir \( u \).
3. Étapes de l'Intégration par Parties
1. Choisir : \( u \) et \( dv \).
2. Calculer: \( du \) et \( v \) :
- - \( du = \frac{d}{dx}(u) \, dx \) - \( v = \int dv \)
3. Appliquer la formule de base:
- - \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
4. Exemple:
- - Calculons \( \int x e^x \, dx \) :
1. Choix : \( u = x \), \( dv = e^x \, dx \)
2. Calculs : - \( du = dx \) - \( v = \int e^x \, dx = e^x \)
3. Application de la formule : - \[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \] - \[ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C \]
- Donc, \( \int x e^x \, dx = e^x(x - 1) + C \).
- Ou C est une constante réelle.
2. Application
Nous mettrons à disposition sur ce site une variété d'exercices pour se préparer à l'examen du niveau Terminal (Bac).
Voici quelques exercices portant sur les nombres complexes et l'intégrale par partie des mathématiques pour le baccalauréat au Maroc.
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Enoncé 1 d'un exercice à résoudre dans l'ensemble C des nombres complexe.
Question 1
- Résoudre dans l'ensemble
( l'ensemble des nombres complexe) l'équation suivante:
Question 2
- montrez que: \( \left [ \frac{\sqrt{3}+i}{2} \right ]^{12}=\frac{\pi }{6}\)
Question 3
- On utilisant l'intégration par partie, Montrez que: \(\int_{1}^{e}x^{2}\ln dx=\frac{2e^{2}+1}{9}\)
Question 4
- Montrez que: \(\int_{2}^{4}\frac{dx}{x\sqrt{x-1}}=\frac{\pi }{6}\)
- Vous pouvez poser : \((t=\sqrt{x-1})\)
Correction de l'exercice 1.
Pour résoudre ces questions, passons en revue chacune d'elles.
Question 1:
- Résolution de l'équation \( z^{2} - 2(1+2i) + 1+4i = 0 \)
- Décomposons l'équation et résolvons-la.
\[ z^{2} - 2 + 4i + 1 + 4i = 0 \]
\[ z^{2} - 1 + 8i = 0 \]
\[ z^{2} = 1 - 8i \]
- Maintenant, trouvons les solutions \( z \) en prenant la racine carrée des deux côtés:
\[ z = \pm \sqrt{1 - 8i} \]
- Pour trouver \( \sqrt{1 - 8i} \), posons \( z = a + bi \) et résolvons pour \( a \) et \( b \) en substituant et égalant les parties réelles et imaginaires.
Question 2:
- Démonstration que \( \left [ \frac{\sqrt{3}+i}{2} \right ]^{12}=\frac{\pi }{6} \)
- Utilisons la forme exponentielle de \( \frac{\sqrt{3}+i}{2} \) et calculons sa puissance 12 pour vérifier l'énoncé.
Question 3:
- Utilisation de l'intégration par parties pour montrer \( \int_{1}^{e}x^{2}\ln x \, dx = \frac{2e^{2}+1}{9} \)
- Appliquons l'intégration par parties en choisissant \( u = \ln x \) et \( dv = x^2 dx \), puis calculons l'intégrale.
Question 4:
- Démonstration que \( \int_{2}^{4}\frac{dx}{x\sqrt{x-1}} = \frac{\pi }{6} \)
- Utilisons une substitution trigonométrique appropriée pour simplifier l'intégrale et montrer qu'elle équivaut à \( \frac{\pi}{6} \).
Chaque question nécessite des calculs détaillés et des méthodes spécifiques pour arriver aux réponses demandées.
Voyons maintenant un exercice sur l'application de l'intégrale par partie.
Exemple : Nous devons effectuer le calcul de l'intégrale : \(\int_{1}^{3} x e^{x} \, dx\), en utilisant l'intégrale par partie.
Résoudre certaines intégrales qui ne peuvent pas être résolues directement est grandement facilité par l'intégration par parties en calcul intégral. Pour l'intégration par parties, on utilise la formule de base suivante :
- Premier pas on pose :
\(\left\{ \begin{array}{l} u'(x) = e^{x} \Rightarrow u(x) = e^{x} \\ v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1 \end{array} \right.\)
- Deuxième pas on applique la formule de base de l'intégrale par partie :
\(= \left[ e^{x} x \right]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} e^{x} \, dx\)
\(= \left[ e^{x} x \right]_{1}^{3} - \left[ e^{x} \right]_{1}^{3}\)
\(= \left[ e^{3} \cdot 3 \right] - \left[ e^{1} \cdot 1 \right] - \left[ e^{x} \right]_{1}^{3}\)
\(= 3e^{3} - e^{3}\)
\(= 2e^{3}\)
3. challenge du mathématique
Des exercices soigneusement choisis pour évaluer la compréhension de la leçon nombre complexe et intégrale par partie.
La réalisation de ces activités exige beaucoup d’efforts.
Problème 1
L’exercice touche la solution du nombre complexe.
- Montrez que f(z) est une solution de l'équation différentielle \(f'(z)=af(z)\).
- Utilisez l'intégration par parties pour évaluer l'intégrale suivante: \[ \int_0^\infty e^{-(a+bi)x} \, dx \] où a et b sont des réels positifs.
Problème 2
L'exercice traite de la solution d'intégration par parties et de la trigonométrie.
- Résoudre l'intégrale définie suivante : \[ \int_{0}^{1} \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]
Correction des exercices
Accédez rapidement à la solution complète : vous pouvez suivre la correction des exercices en cliquant sur le lien ci-dessous et renforcer vos connaissances efficacement.