Limites et Continuité

Pour simplifier et comprendre le comportement des fonctions et étudier leurs changements, il est essentiel d'avoir des limites et une continuité solides pour l'apprentissage des mathématiques au baccalauréat.

Grâce aux limites, nous pouvons connaître le comportement de la fonction aux frontières du champ ou en approchant d’une certaine valeur, tandis que la continuité nous permet de garantir que la fonction ne subit pas d’interruptions soudaines, ce qui ouvre la voie à l’étude de la dérivation et du graphe des fonctions.

Limites et Continuité du bac - Cour et exercice

Voici un cours sur les limites et la continuité au niveau du baccalauréat.
Ce contenu reste un exemple introductif, et il est indispensable de consulter les ressources pédagogiques académiques pour approfondir la compréhension.

1. Notion de limite niveau Bac

Qu’est-ce que la limite ?

On dit que la fonction $f(x)$ admet une limite L quand 𝑥 s’approche de 𝑎 si : $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$

Cela signifie que les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de L.

Exemple : \[\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+3)=5\]

2. Limites à l’infini

On peut étudier le comportement d’une fonction lorsque 𝑥 devient très grand:

\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\]\[\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\]

Exemple: \[\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\]

3. Formes indéterminées

Lors du calcul des limites, on peut obtenir des formes comme :

$\frac{0}{0}$
$\frac{\infty}{\infty}$
$0\times\infty$
$\infty-\infty$

Exemple : \[\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\displaystyle\lim_{x\to 1}(x+1)=2\]

4. Exemples de limites

Voici une série d'exemples de limites essentielles à maîtriser pour réussir en mathématiques.
Ces limites classiques couvrent les fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques, exponentielles et logarithmiques.

a. Limites de base

Limite polynomiale :$ lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1)=3 $
Limite rationnelle : $\displaystyle\lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1)=3 $
Limite à l'infini : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^3+5x}{x^3-1}=2$

b. Limites trigonométriques

Limite classique : $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
Limite trigonométrique : $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Limite tangente : $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

c. Limites exponentielles et logarithmiques

Limite exponentielle : $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$.
Limite logarithmique : $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$.
Nombre d'Euler : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$.

d. Limites avec formes indéterminées

Forme 0/0 : $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} = 3$.
Forme ∞/∞ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 + 3x}{2x^2 - x} = \frac{5}{2}$.
Croissance comparée :$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty $ (pour tout n).

5. Continuité d’une fonction

Une fonction $f(x)$ est continue en 𝑎 si :

$f(a)$ existe
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ existe.
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

On résume par: \[\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\]

Exemple:

Soit $f(x)= (x+5)$ ⇒ $f(2)=7$ et $\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+5)=7$

Donc: \[\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=f(2)\]

6. Limites unilatérales

On distingue : $\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f(x)$

La limite en 𝑎 existe si :

\[\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f(x)\].

7. Exemples de fonctions continues

Voici une série d'exemples de fonctions continues qui illustrent les principaux types rencontrés en analyse mathématique.
Ces fonctions incluent les polynômes, les fonctions trigonométriques, exponentielles, logarithmiques et rationnelles, chacune étant continue sur son ensemble de définition.

A. Fonctions polynomiales (continues sur $ ℝ$).

Fonction linéaire : $f(x) = 2x + 3$ Continue sur $ ℝ$.
Fonction quadratique : $f(x) = x^2 - 4x + 1$ Continue sur $ ℝ$.
Fonction polynomiale : $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 7$ Continue sur $ ℝ$.

B. Fonctions rationnelles

Fonction rationnelle : $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ Continue sur $ ℝ \ -{2}$.
Fonction rationnelle : $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 4}$ Continue sur $ ℝ$. (aucune division par zéro).

C. Fonctions trigonométriques

Fonction sinus : $f(x) = \sin(x)$ Continue sur $ ℝ$.
Fonction cosinus : $f(x) = \cos(x)$ Continue sur $ ℝ$.
Fonction tangente : $f(x) = \tan(x)$ Continue sur ( $ ℝ \ - {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}$ ).

D. Fonctions exponentielles et logarithmiques

Fonction exponentielle : $f(x) = e^x$ Continue sur $ ℝ$.
Fonction logarithme : $f(x) = \ln(x)$ Continue sur $ ]0, +∞[$.

E. Fonctions composées continues

Composition : $f(x) = e^{x^2}$ Continue sur $ ℝ$.
Composition : $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ Continue sur $ ℝ$.

F. Fonctions définies par morceaux (continues)

Fonction valeur absolue : $f(x)=\left|x\right|\left\{\begin{matrix}x\;si\;x>0\\-x\;si\;x<0\end{matrix}\right.$ Continue sur ℝ.
Fonction par morceaux : $f(x)=\begin{cases}x^2 & \text{si \ } x \le 1 \\2x-1 & \text{si \ } x>1 \end{cases} $ Continue sur $ ℝ$ (car $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$)

G. Fonctions racines

Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$ Continue sur $ [0, +∞[$.
Fonction racine cubique : $f(x) = \sqrt[3]{x}$ Continue sur $ ℝ$.

6. Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit la fonction $f(x)$ tel que: \[\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}\]

Étudier la continuité en $𝑥=1$.

La fonction n’est pas définie en $𝑥=1$.

\[\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}=\displaystyle\lim_{x\to 1}(x+1)=2\]

Donc la fonction n’est pas continue en 1.

Exemple 2 : Soit la fonction $f(x)$ tel que:

\[f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}si\;x\neq 0\\x\;si\;x=0\end{matrix}\right.\]\[\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0\neq f(0)=1 \]

Donc: La fonction n’est pas continue en 0.

7. Relations mathématiques importantes

Voici des règles de calcul des limites :

La somme: $\displaystyle\lim_{x\to a}\left[f(x)+g(x)\right]=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)$.
le produit: $\displaystyle\lim_{x\to a}\left[f(x)\times g(x)\right]=\left[\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\right]\times\left[\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\right]$.
le quotient: $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$ ( ${si }\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)\neq0 $).

8. Exercices

Voici une série d'exercices conçus pour maîtriser les concepts de limites et de continuité des fonctions. Ces exercices progressifs permettent de développer les compétences essentielles en calcul de limites et en étude de la continuité.

Calculer : $ \displaystyle \lim_{x \to 3}(2x-5)$.
Calculer: $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^{3}}{x}$.
Étudier la continuité de : $f(x)=\frac{1}{x} (en \ x=0)$.
Calculer les limites suivantes :

$\displaystyle \lim_{ x\to 2}(3x^{2}-5x+1)$
$\displaystyle \lim_{ x\to +\infty }\frac{2x^{3}+x}{x^{3}-5}$
$\displaystyle \lim_{ x\to 0 }\frac{sin(3x)}{x}$.
$\displaystyle \lim_{ x\to 1 }\frac{x^{2}-1}{x-1}$.

Continuité sur un intervalle:

Déterminer l'ensemble de continuité des fonctions suivantes :

$f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}$.
$g(x)=ln(x^{2}-9)$.
$h(x)=\sqrt{4-x^{2}}$

9. Corrections de exercices

Corrections de exercices de limites et de continuités.

Limites et Continuité - Cour du bac