Dans le programme de la 2ème année du baccalauréat, la dérivabilité joue un rôle essentiel en mathématiques.
Elle offre la possibilité d'étudier la variation des fonctions et de comprendre leur comportement en se basant sur la notion de dérivée.
Pendant ce cours, l'étudiant apprendra les conditions de dérivabilité d'une fonction, les règles essentielles de calcul des dérivées, ainsi que des applications pratiques telles que l'étude des tangentes et des extrema.
Ce chapitre constitue une base indispensable pour réussir les exercices et les problèmes liés à l’analyse en 2ème BAC.
Cours sur la dérivabilité – Niveau 2ème BAC : calcul différentiel
Bien comprendre et maîtriser les bases du calcul différentiel, un cours sur la dérivabilité niveau 2ème année BAC.
Remarque
- Cet article est simplement une introduction pour comprendre les leçons sur la dérivabilité, et ne se substitue pas à la révision des cours officiels ni des manuels scolaires.
1. Définition de la Dérivabilité
Un fonction \(𝑓\) est dite dérivable en un point 𝑎 si la limite suivante existe :
\[ f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(h+a)-f(a)}{h}\]
- Cela signifie que la fonction doit présenter une pente bien définie à ce point.
2. Interprétation Géométrique
- La dérivée d'une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la courbe de la fonction au point considéré.
3. Dérivabilité et Continuité
- Si une fonction est dérivable en un point, elle est nécessairement continue en ce point. L'inverse n'est pas vrai : une fonction peut être continue sans être dérivable.
4. Règles de Dérivation
- Voici les règles de dérivabilité les plus courantes en mathématiques.
a. Dérivée des Fonctions Élémentaires \((x\neq 0)\)
- Constante : \[\frac{\mathrm{d}(C)}{\mathrm{d}x}=0\]
- Identité : \[\frac{\mathrm{d}(x)}{\mathrm{d}x}=1\]
- Puissance : \[\frac{\mathrm{d}(x^{n})}{\mathrm{d}x}=nx^{n-1}\]
- Quotient: \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{x^{n}})=-\frac{n}{x^{n+1}}\]
b. Règles de Dérivation \((x\neq 0)\)
- Somme : \[\frac{\mathrm{d}(f(x)+g(x))}{\mathrm{d}x}=f'(x)+g'(x)\]
- Produit : \[\frac{\mathrm{d}(f(x)\times g(x))}{\mathrm{d}x}=f'(x)\times g(x)+f(x)\times g'(x)\]
- Quotient : pour deux fonctions f et g \((oug\neq 0)\) \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{f'(x)\times g(x)-f(x)\times g'(x)}{g^{2}(x)}\]
- Chaîne (pour \( f(g(x)) \)) : \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(g(x))=f'(g(x))\times g'(x)\]
c. Dérivées des fonctions trigonométriques \((x\neq\frac{\pi}{2})\)
- Sin x: \[\frac{\mathrm{d}(sin(x))}{\mathrm{d}x}=cos(x)\]
- Cos x: \[\frac{\mathrm{d}(cos(x))}{\mathrm{d}x}=-sin(x)\]
- Tan x: \[\frac{\mathrm{d}(tan(x))}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{cos(x)^{2}}=1+tan(x)^{2}\]
d. Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques \((x\neq 0)\)
- Exponentiel de x: \[\frac{\mathrm{d}(e^{x})}{\mathrm{d}x}=e^{x}\]
- Logarithme de x: \[\frac{\mathrm{d}(lnx)}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\]
e. dérivées des fonctions racines \((f(x)>0,x>0)\)
- Racine de x: \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sqrt{x})=\frac{1}{2x}\]
- Racine de f(x): \[(\sqrt{(f(x))})'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\]
5. Exemples
a. Dérivée d'une Fonction Polynomiale:
Pour \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \):
\[f'(x) = 6x + 2\]
b. Dérivée d'une Fonction Trigonométrique:
Pour \( f(x) = \sin(x) \):
\[f'(x) = \cos(x)\]
6. Applications de la Dérivée
- Étude de la Croissance : Zéros de \( f'(x) \) permettent de déterminer les points critiques.
- Optimisation : Utilisation de la dérivée pour trouver les extrema.
7. Points Importants à Retenir:
- - Dérivabilité et Continuité
- - Règles de Dérivation
- - Interprétation Géométrique
8. Exercices
- Voici une série d’exercices pour maîtriser la dérivabilité en mathématiques.
- Montrer que la fonction \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'(x)\).
- Étudier les variations de la fonction \(g(x) = x^2 - 4x + 4 \) (intervalle de croissance et de décroissance).
- Soit \(h(x)=\sqrt{x}\).
Montrer que \( h(x)\) est dérivable sur \( ]0,+\infty[ \) et calculer \( h'(x) \).
- Soit \( p(x) = \sin(x) \).
Montrer que \( p(x) \) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et déterminer \( p'(x) \).
- Soit \(q(x) = \ln(x) \).
Étudier la dérivabilité de \( q(x)\) et calculer sa dérivée sur son domaine de définition.
- Soit \( r(x) = e^x \).
Montrer que \( r(x) \) est dérivable sur \( \mathbb{R}\) et donner l’expression de \( r'(x) \).
- Soit \(s(x) = \dfrac{1}{x} \).
Déterminer l’ensemble de dérivabilité de \( s(x) \) et calculer \( s'(x) \).
- Soit \( t(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1} \).
Étudier la dérivabilité de \(t(x) \) et calculer \(t'(x) \).
- Soit \( u(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x+1} \).
Étudier la dérivabilité de \( u(x) \) et calculer \( u'(x) \).
- Soit \( v(x) = \dfrac{\sin(x)}{x} \) pour \( x \neq 0 \).
Étudier la dérivabilité de \( v(x) \) et calculer \( v'(x) \).
9. Correction des exercices
