Les probabilités constituent une branche essentielle des mathématiques permettant d'étudier les phénomènes aléatoires et de mesurer les chances de réalisation d'un événement.
Au programme du 2ᵉ Baccalauréat, ce chapitre aborde les techniques de dénombrement, le calcul des probabilités, les événements indépendants et conditionnels, ainsi que les lois de probabilité discrètes, notamment la loi binomiale.
Ce résumé rassemble les principales définitions, formules et propriétés indispensables pour comprendre le cours, résoudre des exercices et préparer efficacement les examens.
Guide de révision des Probabilités – 2ᵉ Bac
Probabilités – Résumé complet, formules essentielles et exemples corrigés (2ᵉ Bac).
1. Factorielle
- Pour tout entier naturel n : \(n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times .....\times 2\times 1\)
Exemple : \(5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\)
2. Dénombrement
Qu'est-ce que le dénombrement ?
- Le dénombrement est une partie des probabilités qui consiste à compter le nombre de possibilités ou de résultats possibles d'une expérience aléatoire, sans les énumérer un à un.
- Il permet de répondre à des questions telles que :
- Combien de façons peut-on choisir 3 élèves parmi 10 ?
- Combien de codes de 4 chiffres peut-on former ?
- Combien d'ordres différents peut-on obtenir en rangeant des objets ?
1. Principales méthodes de dénombrement
| Situation | Formule | Exemple |
|---|---|---|
Combinaisons (ordre sans importance) où :
|
\(C^{n}_{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \) | Choisir 3 élèves parmi 10 |
| Arrangements (ordre important, Tirages sans remise) | \(A^{n}_{p} = \frac{n!}{(n-p)!} \) | Désigner un président, un secrétaire et un trésorier |
| Permutations | \(n!\) | Ranger 5 livres différents |
| Tirages avec remise | \(n^{p}\) | Former un code de 4 chiffres |
Exemple
- On choisit 2 élèves parmi 5.
- Le nombre de choix possibles est : \(C^{2}_{5}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10\)
- Il existe donc 10 façons différentes de choisir 2 élèves parmi 5.
- Le dénombrement est l'ensemble des techniques permettant de compter le nombre de résultats possibles d'une expérience, afin de faciliter le calcul des probabilités.
2. Arrangements
- Nombre de façons d'ordonner p éléments parmi n : \(A^{p}_{n}=\frac{n!}{(n-p)!}p\)
Exemple : \(A^{3}_{5}=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5\times 4\times 3}{2\times 1}=\frac{60}{2}=30\)
3. Combinaisons
- Nombre de choix de p éléments parmi sans tenir compte de l'ordre : \( C^{p}_{n}=\frac{n!}{p!(n-p)!}\)
Exemple : \( C^{2}_{7}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7\times 6}{2}=21\)
4. Cardinal d'un univers
- Tirage simultané : \( C^{p}_{n}=\frac{n!}{p!(n-p)!}\)
Tirage successif sans remise : \( A^{p}_{n}=\frac{n!}{(n-p)!}\)
Tirage successif avec remise : \( n^{p}\)
5. Probabilité d'un événement
Qu'est-ce que la probabilité ?
- La probabilité est une mesure qui permet d'évaluer les chances qu'un événement se produise. \( P(A)=\frac{Card(A)}{card(\Omega )}\)
où :
- : événement
- : univers
- La probabilité est comprise entre 0 et 1 .
Propriétés :
- \(P(A)=0\) : l'événement est impossible.
- \(P(A)=1\) : l'événement est certain.
- \(0\leq P(A)\leq1\) : l'événement est possible.
- \(P(\bar{A})=1-P(A)\) , ou \(\bar{A}\) est l'évènement contraire.
6. Intersection et Réunion
1. L'intersection \(A∩B\)
- L'intersection de deux événements A et B est l'événement qui se réalise lorsque A et B se produisent en même temps.
On note : \(A∩B\)
Exemple
- On lance un dé à six faces.
- A : « obtenir un nombre pair » \(\Rightarrow A=\left\{{2,4,6}\right\}\)
- B : « obtenir un nombre supérieur à 3 » \(\Rightarrow B=\left\{{4,5,6}\right\}\)
- L'intersection est : \(A\cap B=\left\{{4,6} \right\} \)
- Elle contient les résultats qui appartiennent à la fois à A et à B.
- La probabilité de l'intersection est : \(P(A∩B)\)
2. Réunion (A∪B)
- La réunion de deux événements A et B est l'événement qui se réalise lorsque A ou B (ou les deux) se produisent.
On note : \(A∪B\)
Exemple
- Avec les mêmes événements : \[A=\left\{{2,4,6}\right\}\]\[ B=\left\{{4,5,6}\right\}\]
- La réunion est : \[ A∪B=\left\{{2,4,5,6}\right\}\]
- La réunion contient tous les résultats appartenant à A, à B ou aux deux ensembles.
3. Formule de la réunion
La formule de la probabilité d'une réunion s'écrit: \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
7. Événements indépendants
En probabilités, deux événements sont considérés comme indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité qu'il se produise.
Exemple 1
On lance un dé et on pile ou face avec une pièce.
- A : « Obtenir un nombre pair sur le dé. »
- B : « Obtenir Face avec la pièce. »
Or: \[P(A)\times P(B)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\]
Donc A et B sont indépendants.
Exemple 2 : Contre - exemple
On tire une seule carte d'un jeu de 52 cartes.
- A : « La carte tirée est un roi. »
- B : « La carte tirée est une figure (Valet, Dame ou Roi). »
Calculons les probabilités :
\[P(A)=\frac{1}{13}\]\[P(B)=\frac{3}{13}\]\[P(A∩B)=\frac{1}{13}\],car tout roi est une figure.
Vérifions l'indépendance : \[P(A)\times P(B)=\frac{1}{13}\times \frac{3}{13}=\frac{3}{169}\]
Comme: \[P(A\cap B)\neq P(A)\times P(B)\]
les événements A et B sont dépendants.
8. Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle est le pourcentage de probabilité qu'un événement A se produise, en considérant qu'il y a déjà eu un autre événement B.
Définition:
- La probabilité conditionnelle de sachant est :\[P_{A}(B)=P(B/A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]
- La probabilité conditionnelle de sachant est :\[P_{B}(A)=P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
- \(P(A∣B)\) : probabilité de A sachant que B est réalisé ;
- \(P(A∩B)\) : probabilité que A et B se réalisent en même temps ;
- \(P(B)\) : probabilité de B.
Exemple
- A : « Obtenir un nombre pair. »
- B : « Obtenir un nombre supérieur à 3. »
Calculons les probabilités :\[P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]\[P(A∩B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]
9. Loi binomiale
NB: La loi binomiale est une loi de probabilité qui permet de calculer la probabilité d’obtenir un certain nombre de succès lorsque l’on répète plusieurs fois la même expérience, dans les mêmes conditions.
- Imagine que tu lances une pièce 10 fois.
- À chaque lancer, il n'y a que deux résultats possibles :
- Succès : obtenir Face.
- Échec : obtenir Pile.
La loi binomiale répond à des questions comme :
- Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 6 Faces ?
- Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 8 Faces ?
- Si X suit une loi binomiale :
- Les 4 conditions de la loi binomiale:
- On répète la même expérience plusieurs fois.
- Chaque expérience est indépendante des autres.
- Chaque expérience possède seulement deux issues :
- Succès
- Échec
- La probabilité du succès reste la même à chaque essai.
- Succès = obtenir Face.
- Échec =obtenir Pile.
- Échec = répondre faux.
- Succès = répondre juste.
- Les paramètres de la loi binomiale
- \(n =\) nombre d'essais.
- \(p =\) probabilité d'un succès.
- 10 essais,
- probabilité de succès de 0,4 à chaque essai.
- Que représente la variable aléatoire X ?
- Formule de la loi binomiale:
- \(n = \)nombre d'essais,
- \(k = \)nombre de succès,
- \(p =\) probabilité du succès,
- \(C^{n}_{k}=\)nombre de façons de placer les \(k\) succès parmi les \(n\) essais.
- Exemple pour comprendre la loi binomiale:
Exemple 1 : Lancer une pièce
On lance une pièce 5 fois.
Chaque lancer est indépendant et la probabilité d'obtenir Face est toujours \(P=\frac{1}{2}\)
Cette situation suit donc une loi binomiale.
Exemple 2 : Réussite à un QCM
Un étudiant répond au hasard à 10 questions.
Chaque question possède 4 réponses dont une seule est correcte.
La probabilité de réussite est toujours \(P=\frac{1}{4}\)
On utilise donc une loi binomiale.
La variable X compte le nombre de succès obtenus.
Exemple :
On lance une pièce 5 fois.Si les résultats sont : Face – Face – Pile – Face – Pile
alors: \[X=3\]
La probabilité d'obtenir exactement k succès est :\[P(X=k)=C^{n}_{k}p^{k}(1−p)^{n-k}\]
où :On lance une pièce 3 fois.
On cherche la probabilité d'obtenir exactement 2 Faces.
- \(n = 3\)
- \(k = 2\)
- \(p =\frac{1}{2}\)
La probabilité d'obtenir exactement 2 Faces est donc : \[ P(X=2)=\frac{3}{8}\]
10. Loi de probabilité
Une loi de probabilité est un tableau qui indique les différentes valeurs que peut prendre une variable aléatoire et la probabilité de chacune de ces valeurs.
Si: \[X(\Omega)=\left\{{x_{1},x _{2},...,x_{n}}\right\}\]
alors la loi de probabilité est donnée par :
| \(x_{i}\) | \(x_{1}\) | \(x_{2}\) | ... |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_{i})\) | \(p_{1}\) | \(p_{2}\) | ... |
Exemple
- On lance une pièce 2 fois.
- Soit \(X\) le nombre de Faces obtenues.
| Valeurs de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
11. Espérance mathématique
L'espérance mathématique est la valeur moyenne que l'on peut espérer obtenir si l'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois.
Formule: \[E[X]=\Sigma x\times P(X=x)=\Sigma x_{i}\times p_{i}\]
Exemple
- On lance une pièce 2 fois.
- Soit \(X\)le nombre de Faces obtenues.
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Calcul de l'espérance :
\[E[X]=0\times\frac{1}{4}+1\times\frac{1}{2}+2\times\frac{1}{4}=0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\]L'espérance est égale à 1.
- Cela signifie que si l'on répète cette expérience un très grand nombre de fois, le nombre moyen de Faces obtenues sera proche de 1 par expérience de deux lancers.
12. Variance
La variance mesure à quel point les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
En langage simple :
- Petite variance → les valeurs sont proches de la moyenne.
- Grande variance → les valeurs sont très éloignées de la moyenne.
Formule:
Pour une variable aléatoire \(X\), la variance se note \(Var(X)\) et se calcule par :\[V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\]
Exemple très simple
On lance une pièce 2 fois.
Soit \(X\) le nombre de Faces obtenues.
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Étape 1 : Espérance
La moyenne vaut : \(E(X) = 1\)
Étape 2 : Calcul de \(E(X^{2})\)
On élève les valeurs au carré :
| \(X\) | \(X^{2}\) | \(P(X)\) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | \(\frac{1}{4}\) |
| 1 | 1 | \(\frac{1}{2}\) |
| 2 | 4 | \(\frac{1}{4}\) |
Étape 3 : Variance \(Var(X)\)
13. Écart-type
L'écart-type est une mesure qui indique à quel point les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
Formule: \[\sigma(X)=\sqrt{Var(X)}\]
Où:
- \) est la variance.
Exemple
L'exemple du lancer d'une pièce 2 fois.
On a déjà trouvé :
- Espérance : \(E(X)=1\)
- Variance : \(Var(X)=0,5\)
L'écart-type est donc :\[\sigma(X)=\sqrt{0,5}\approx 0,71 \]
Problème à résoudre
Un problème de probabilité 2ème année baccalauréat à résoudre.
Partie 1 : Événements et probabilités 📌
Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes.
On tire successivement deux boules sans remise.
- A : « La première boule est rouge. »
- B : « La deuxième boule est bleue. »
- Calculer \(P(A)\).
- Calculer \(P(B∣A)\).
- Déduire \(P(A∩B)\).
- Calculer \(P(B)\).
- Calculer \(P(A∣B)\).
- Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier.
Partie 2: Loi binomiale 📌
Une compagnie affirme que 90 % de ses ampoules fonctionnent correctement.
On prélève au hasard 12 ampoules.
On suppose les prélèvements indépendants.
On note X le nombre d'ampoules en bon état.
Partie A
- P(X=12)
- P(X=10)
- P(X≤9)
- P(X≥10)
Partie B
- Calculer l'espérance mathématique de X.
- Calculer la variance de X.
- Calculer l'écart-type de X.
- Interpréter l'espérance dans le contexte.