Étude des fonctions domaine de définition

L'étude des fonctions est une partie fondamentale du programme de mathématiques du Baccalauréat BIOF.

Avant d'analyser les variations, de calculer les limites ou d'étudier la dérivabilité d'une fonction, il est indispensable de déterminer son domaine de définition.

Cette étape permet d'identifier les valeurs de la variable pour lesquelles la fonction est définie et d'éviter les expressions interdites, telles que la division par zéro ou la racine carrée d'un nombre négatif.

Dans ce cours, nous présenterons les principales règles permettant de déterminer le domaine de définition d'une fonction à travers des explications claires et des exemples adaptés au niveau du Bac BIOF.

Domaine de définition : méthodes et exercices – Maths BIOF

L'étude des fonctions constitue une étape fondamentale en mathématiques. Elle permet d'aborder les notions de limites, de continuité et de dérivabilité.

1. Résumé du cours

Voici un résumé des principaux points du cours de mathématiques pour les élèves de la classe de baccalauréat.

a. Définition

Notion de base

Le domaine de définition d’une fonction \( f(x)\), noté \( D_{f}\) est l’ensemble des valeurs de ( x ) pour lesquelles l’expression de \( f(x)\) a un sens mathématique.

👉 En d’autres termes : ce sont les valeurs que ( x ) peut prendre sans provoquer d’erreur.

Exemple:

- Pour que la fonction \( f(x)=\frac{x+1}{x-1}\) soit définie, il faut que le dénominateur soit différent de zéro.
Donc: \( D_{f}=]-\infty,1[\cup]1,+\infty[\)

2. Règles essentielles à retenir

les Fractions (dénominateur)

On ne peut jamais diviser par zéro.

Exemple :

\(f(x)=\frac{1}{x-2}\)

Condition : \((x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\))

\(f(x)=\frac{1+x}{x^{2}}\)

Condition : \((x^{2} \neq 0 \Rightarrow x \neq 2)\)

Les fonctions racine carrée (√ )

Sous une racine carrée, l’expression doit être positive ou nulle.

Exemple :

Soit la fonction suivante: \(f(x)=\sqrt{x-3}\)

Condition :

Il faut que: \(x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3\)

Les fonction racines et les fractions (√ + fraction)

- Ici on combine les conditions du ravine carré et les conditions d'une fraction.

Exemple :

Soit la fonction suivante: \(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x+2}\)

Conditions :

Il faut que: \(x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\)
Et aussi: \(x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\)

👉 Donc : \(D_{f}=[1,2[\cup]2,+\infty[\)

Les Polynômes

Exemple :

Soit la fonction suivante: \(f(x)=x^2+3x-5\)
✔ Toujours définie : \(D{f}=\mathbb{R}\)

Les fonctions exponentielles \(e^{x}\)

Conditions:

La fonction \(e^{x}\) est définie pour tout réel x.
\(D_f=\mathbb{R}\)

Plus généralement, toute fonction de la forme \(e^{u(x)}\) est définie dès que \(u(x)\) est définie.

Exemple:

Soit la fonction: \(f(x)=e^{\frac{1}{x-3}}\)
Détermination du domaine de définition
La fonction exponentielle \(e^{u}\) est définie pour tout réel u.
Il suffit donc que l'exposant \(\frac{1}{x-3}\) soit défini.
Or, une fraction est définie lorsque son dénominateur est différent de zéro :
Donc: \(D_f=\mathbb{R}-\left\{ 3\right\}\)

Les fonctions logarithmiques

Pour qu'un logarithme existe, son argument doit être strictement positif.
\(Ln(u(x))existe \Rightarrow u(x)>0\)

Exemples :

Soit la fonction \(f(x)=Ln(x)\)

Donc: \(D_f=]0,\infty[\)

Soit la fonction: \(f(x)=Ln(x-1)\)

Condition: \(x-2>0\Rightarrow ⟹x>2\)
Donc: \(D_f=]2,\infty[\)

les fonctions trigonométriques

Domaine de définition des fonctions trigonométriques.

Soit la fonction Sinus: \(f(x)=sinx\)

Donc: \(D_f=\mathbb{R}\)

Soit la fconction Cosinus: \(f(x)=Cosx\)

Donc: \(D_f=\mathbb{R}\)

Soit la fonction tangente: \(f(x)=Tanx\)

La fonction tangente n'est pas définie lorsque : \(cos(x)=0\).
c'est-à-dire: \(x=2+k,k Z\).
Donc: \(D_f=\mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\right\}\)

3. Méthode rapide

Pour trouver \( D_f \) :

Repérer les dénominateurs : exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.
Repérer les racines carrées : imposer que le radical soit supérieur ou égal à zéro \((≥0)\).
Prendre en compte toutes les conditions : les combiner pour obtenir le domaine de définition.
Exprimer le résultat final : écrire clairement l'ensemble \(D_{f}\)

4. Exercices d’application

Une séries d'exercices d'application.

Exercice 1

Déterminer \( D_f \) :

1. \( f(x)=\frac{1}{x+5} \)
2. \( f(x)=\sqrt{x-7}\)
3. \( f(x)=x^2-4x+1\)

Exercice 2

Soit les fonctions suivantes:
Déterminer le domaine :

\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-3}\)

Exercice 3 (niveau Bac)

Soit la fonction suivante:

\(f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}}{x^2-9}\)

Exercice 4 (piège)

Soit la fonction suivante:

\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}\)

Exercice 5 Fonction exponentielle

Déterminer le domaine de définition de la fonction suivante :

Soit la fonction: \(f(x)=e^{\frac{2x+1}{x-4}}\)

Exercice 6 Fonction logarithmique

Déterminer le domaine de définition de la fonction suivante :

Soit la fonction: \(g(x)=Ln(x^{2}-5x+6)\)

Exercice 7 Fonction trigonométrique

Déterminer le domaine de définition de la fonction suivante :

Soit la fonction suivante: \(h(x)=\frac{1}{cos x}\)

5. Corrigé rapide

✅ Exercice 1

Pour tout \( x \neq -5 \) Donc: \( D_f=\mathbb{R}-(-5)\)
Pour tout\( x \ge 7 \) Donc: \( D_f=]7,+\infty[\)

👉\( D_f = \mathbb{R} \)

✅ Exercice 2

\( x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2 \)
\( x \neq 3 \)

👉 \( D_f=[-2,3[\cup]3+\infty[ \)

✅ Exercice 3

\( 2x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac12 \)
\( x^2-9 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \) et \( x \neq 3\)

👉 \( Df=]\frac{1}{2},-3[\cup ]-3,3[\cup ]3,+\infty [ \)

✅ Exercice 4

Racine au dénominateur → strictement positif si:
\(x-4 > 0 \Rightarrow x > 4\)

👉 \( Df=]4,+\infty [ \)

✅ Exercice 5 Fonction exponentielle

Pour tout \(x\neq 4\)

👉 \(Df=]-\infty ,4[]]\cup ]4+\infty [ \)

✅ Exercice 6 Fonction logarithmique

On doit avoir : \(x^{2}−5x+6>0\)
Or: \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\)
Donc: \(x< 2\) ou \(x>3\)

👉 \(D_f=]-\infty ,2[\cup ]3,+\infty [ \)

✅ Exercice 7 Fonction trigonométrique

Pour que la fonction soit définie, le dénominateur doit être différent de zéro: \(cos x\neq 0\)
Or: \(cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi , k\in \mathbb{Z}\)

👉 \(D_f=\mathbb{R}-\left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\} \)